Research Group of Prof. Dr. M. Griebel
Institute for Numerical Simulation
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[1] M. Griebel and T. Schiekofer. PAR-CVD: Entwicklung leistungsfähiger paralleler Berechnungsverfahren zur Untersuchung und Optimierung von CVD-Prozessen, chapter 7, Effiziente Algorithmen auf dünnen Gittern, pages 53-96. Berichte aus der Strömungsmechanik. Shaker, Aachen, 1999. L. Kadinski (ed.).
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Im Rahmen des Verbundprojektes PAR-CVD erfolgte die Entwicklung von mathematischen Modellen, effizienten numerischen Techniken und Software zur Untersuchung und Prozessoptimierung des Halbleiterschichtwachstums von Ga1-xAlxAs, Ga1-xInxP und In1-xGaxN durch metallorganische Gasphasenepitaxie (engl. Metal Organic Vapour Phase Epitaxie, MOVPE). Die MOVPE ist ein Verarbeitungsschritt in der Halbleiterprozesstechnik von III-V-Verbindungshalbleitern, auf deren Grundlage elektronische und optoelektronische Bauelemente hergestellt werden. Das Prozessmodell für die Simulation der MOVPE basiert auf der mathematischen Beschreibung der Gasströmung für den MOVPE-Reaktor, gekoppelt mit Wärmeübergang einschliesslich thermischer Strahlung und Mehrkomponentenstofftransport mit Thermodiffusion und homogenen und heterogenen chemischen Reaktionen.
Das numerische Modell wurde für die Prozess- und Reaktoroptimierung in linearen Horizontalreaktoren und industriellen radialsymmetrischen Mehrscheibenreaktoren (Planetenreaktor) angewandt. Zur Modellvalidierung der numerischen Rechenergebnisse wurden gezielte Temperatur- und Wachstumsratenmessungen durchgeführt.
Zur Beschleunigung des numerischen Verfahrens wurden dünne Gitter verwendet, die erheblich weniger Gitterpunkte benötigen als konventionelle volle Gitter und damit einen wesentlich geringeren Rechenaufwand aufweisen. Dabei verschlechtert sich der Fehler bei Verwendung von dünnen Gittern beispielsweise beim Interpolanten nur um einen logarithmischen Term im Fall der Maximumsnorm und der L2-Norm, im Fall der Energienorm ist die Ordnung des Fehlers des Interpolanten auf beiden Gittern von derselben Ordnung. Bedingt durch die hierarchische Basis (Tensorprodukt-Basis), die dem dünnen Gitter zugrundeliegt, ist der entstehende Dünn-Gitter-Löser vollständig adaptiv. Die auftretenden Gleichungen werden auf den dünnen Gittern mit der Methode der Finiten Differenzen diskretisiert. Die hierbei verwendete Datenstruktur ist eine Hash-Tabelle, mit der auf natürliche Art und Weise sowohl hierarchische als auch direkte Nachbarschaftsverhältnisse einfach realisierbar sind. Zudem unterstützt die verwendete Datenstruktur adaptive Vorgehensweisen, mit deren Hilfe problematische Stellen in den mathematischen Lösungen genauer dargestellt werden können.
Das eingesetzte numerische Verfahren wurde zur weiteren Verringerung der Rechenzeit parallelisiert. Dabei wurde für die gesamte Bibliothek von Dünngitteroperatoren, die Grundlage zur Konstruktion und Lösung der in diesem Projekt anfallenden Differentialgleichungssysteme ist, ein auf Leichtsgewichtsprozessen über gemeinsamen Speicher basierendes Parallelisierungskonzept entworfen und implementiert. Der dabei verwendete und auf nahezu allen Rechensystemen mit gemeinsamen Speicher verfügbare Programmierstandard POSIX Threads (Pthreads) bietet sowohl Plattformunabhängigkeit als auch Herstellerunterstützung. Durch die Entwicklung und Anwendung eines Benchmarks für Pthreads konnten die Leistungsmessungen vergleichend bewertet und weiter optimiert werden. Die Performanz und gute Skalierbarkeit des Verfahrens konnte abschliessend auf einem grossen symmetrischen Multiprozessor unter Beweis gestellt werden.