Research Group of Prof. Dr. M. Griebel
Institute for Numerical Simulation
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[1] M. Griebel. Multilevelmethoden als Iterationsverfahren über Erzeugendensystemen. Teubner Skripten zur Numerik. Teubner, Stuttgart, 1994.
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Bei der numerischen Simulation technischer und physikalischer Vorgänge sind partielle Differentialgleichungen numerisch zu lösen. Dabei entstehen nach Diskretisierung sehr große, dünn besiedelte lineare Gleichungssysteme, die oft erst duch moderne Hochleistungsrechner überhaupt aufgestellt und behandelt werden können. Zu ihrer effizienten Lösung bieten sich Mehrgitterverfahren und Multilevel-Vorkonditionierer besonders an. In diesem Buch wird ein neuer Zugang zur Konstruktion von effizienten Lösern für elliptische Probleme vorgestellt. Mittels eines Erzeugendensystems, das die Knotenbasen der verschiedenen Diskretisierungslevel umfaßt, ergibt sich bei der Diskretisierung ein semidefinites, erweitertes lineares Gleichungssystem. Darauf angewandte traditionelle iterative Methoden (Gauß-Seidel, Konjugierte Gradienten) lassen sich nun als moderne Multilevelverfahren (Mehrgitter, BPX) zur Lösung des zugehörigen definiten Systems auf dem feinsten Diskretisierungslevel interpretieren. Darüber hinaus wird es möglich, sich von der levelorientierten Sichtweise zu lösen. Es entstehen in natürlicher Weise punktorientierte Verfahren sowie Gebietszerlegungsmethoden mit maschenweitenunabhängigen Konvergenzraten, die im Vergleich zu konventionellen Multilevelmethoden Vorteile bei der Parallelisierung auf MIMD-Maschinen, insbesondere beim Startup, aufweisen. Zudem sind Modifikationen und Erweiterungen des Zugangs leicht möglich, die es erlauben, etwa für anisotrope Probleme robuste Verfahren zu gewinnen, Schließlich lassen sich effiziente Löser auch dierekt für Probleme konstruieren, die bei der Diskretisierung auf dünnen Gittern entstehen, einem neuartigen Verfahren, das substantiell weniger Unbekannte bei fast gleicher Genauigkeit benötigt. Aus dem Inhalt: 1.Erzeugendensysteme und Diskretisierung 2.Semidefinite Systeme 3.Iterationsverfahren für semidefinite Systeme 4.Gradientenbasierte Verfahren und BPX-Gauß-Seidel-Iteration und Mehrgitter 5.Punktblockverfahren 6.Gebietszerlegungsmethoden 7.Konvergenztheorie 8.Parallelisierung 9.Robustheit 10.Multiple Grobgitter-Ansätze 11.Dünne Gitter