Research Group of Prof. Dr. M. Griebel
Institute for Numerical Simulation
maximize


@phdthesis{Schiekofer:1999,
  author = {T. Schiekofer},
  title = {Die Methode der Finiten Differenzen auf d\"{u}nnen Gittern
		  zur L\"{o}sung elliptischer und parabolischer partieller
		  Differentialgleichungen},
  school = {Universit\"at Bonn},
  year = {1999},
  annote = {IAMdiss,CVD},
  type = {Dissertation},
  ps = {http://wissrech.ins.uni-bonn.de/research/pub/schiekofer/schiekof_diss.ps.gz 1},
  pdf = {http://wissrech.ins.uni-bonn.de/research/pub/schiekofer/schiekof_diss.pdf 1},
  abstract = {Ziel der vorliegenden Arbeit ist es, mit der Methode der
		  Finiten Differenzen auf d\"unnen Gittern ein
		  Diskretisierungs--Verfahren bereitzustellen, das die
		  Vorteile d\"unner Gitter ausnutzt, gleichzeitig aber
		  einfach zu implementieren ist. Neben der notwenigen
		  Konstruktion spezieller Finiter Differenzen Operatoren auf
		  d\"unnen Gittern ist auch die theoretische und numerische
		  Untersuchung von Konsistenz und Konvergenz Bestandteil
		  dieser Arbeit. Dabei sind die theoretisch und numerisch zu
		  erwartenden Konvergenzordnungen vergleichbar mit denen der
		  Methode der Finiten Elemente auf d\"unnen Gittern. Es zeigt
		  sich au{\ss}erdem, da{\ss} die Konsistenzordnungen der
		  Finiten Differenzen Operatoren identisch mit denen auf
		  entsprechenden vollen Gittern sind. Zudem stellt sich
		  heraus, da{\ss} etwa elliptische Differentialgleichungen
		  zweiter Ordnung mit hinreichend glatten
		  Koeffizientenfunktionen ohne gro{\ss}en
		  programmiertechnischen Aufwand realisiert werden k\"onnen.
		  Im Hinblick auf die anfangs genannten Problemstellungen
		  werden neben Gebietszerlegungstechniken auch
		  Transformationen von physikalischen Gebieten auf
		  quaderf\"ormige Rechengebiete betrachet. Durch die
		  Kombination beider Vorgehensweisen ist man in der Lage, die
		  Gebiete, die in realen Anwendungen von Interesse sind, auch
		  mit Hilfe d\"unner Gitter handzuhaben. Zur schnellen und
		  effizienten L\"osung der resultierenden Gleichungssysteme
		  wird eine einfache Vorkonditionierung f\"ur die Methode der
		  Finiten Differenzen auf d\"unnen Gittern vorgestellt. Die
		  Datenstruktur Hash--Tabelle erm\"oglicht in einer
		  Implementierung einen Zugriff auf beliebige Daten in $O(1)$
		  Operationen und bietet damit die Grundlage zur Generierung
		  effizienten Programmcodes. Zudem ist durch diese
		  Datenstruktur die Verwaltung adaptiver Gitter problemlos
		  und einfach m\"oglich. Neben den bereits angegebenen
		  Gebietszerlegungstechniken, die auf nat\"urliche Art und
		  Weise ein paralleles Vorgehen erm\"oglichen, wird eine
		  Parallelisierung basierend auf ``Open MP'' f\"ur
		  SMP--Maschinen zur Verf\"ugung gestellt. Damit steht mit
		  der vorgestellten Methode der Finiten Differenzen auf
		  d\"unnen Gittern eine Methode zur Verf\"ugung, die es
		  erlaubt, auf allgemeinen Gebieten parallele,
		  vorkonditionierte L\"oser f\"ur vorgegebene
		  Problemstellungen zu konstruieren. ...}
}